فصل چهارم ریاضی سال هشتم به مبحث عبارت های جبری و معادلات آن تعلق دارد، یکی از مهمترین مباحث درسی ریاضیات که بیشتر مفاهیم درسی در سالهای بالاتر را به خود اختصاص می دهد. بنابراین یادگیری این فصل از اهمیت فوق العاده زیادی برخوردار است. با درسنامه ریاضی هشتم فصل چهارم همراه ما باشید.
تعاریف
در مبحث عبارت های جبری تعاریف گوناگونی وجود دارد که دانستن آنها به درک مفهوم جبر و عبارات جبری کمک می کند. در این بخش شما را با این تعاریف آشنا می کنیم:
عبارت جبری
تشکیل شده از اعداد و حروف یا هر عباری که شامل یک یا چند متغیر باشد. بنابراین یک عبارت جبری از یک عدد یا ضریب و یک متغیر ( حروف کوچک لاتین) تشکیل می شود.
به یک مثال دیگر توجه کنید
یک جمله ای
یک عبارت جبری که تشکیل شده از یک عدد صحیح حقیقی، یک متغیر و یک توان که عددی صحیح و نامنفی است.
نکته مهم: هر عدد صحیح خود به تنهایی یک جمله ای است که متغیر ندارد، یا این که متغیر آن می تواند هر متغیری با توان صفر باشد. چرا که درجه یا توان همه اعداد حقیقی صفر است.
نکته: در یک جمله جبری می توان بیش از یک متغیر داشت که در این صورت درجه جمله نسبت به همه متغیرها برابر است با مجموع درجات آنها
یک جمله ای متشابه: جمله هایی هستند که متغیر آنها یکسان و هم درجه باشد.
نکته: یک جمله ای های متشابه را می توان با یکدیگر جمع یا تفریق کرد.
کاربرد این نکات در ساده کردن عبارت های جبری است.
نکته بسیار مهم: در جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم عبارت های جبری از همان نکات مربوط به اعداد حقیقی، اعداد کسری، اعداد توان دار، اعداد صحیح و … استفاده می شود.
نکته: در جمع و تفریق عبارت های جبری باید به جملات متشابه نگاه کنیم اما برای ضرب و تقسیم آنها هیچ محدودیتی وجود ندارد و نیازی به جملات متشابه نداریم.
ضرب یک جمله ای در چند جمله ای
برای ضرب یک جمله ای در چند جمله ای باید یک جمله ای را در هر یک از جملات ضرب کنیم و از خاصیت پخشی ضرب در جمع و تفریق استفاده کنیم.
ضرب چند جمله ای در چند جمله ای
در این حالت باید تک تک جملات آنها را در هم ضرب کنیم.
فاکتورگیری
یکی از مهمترین اعمالی که روی عبارت های جبری انجام میگیرد، فاکتورگیری است. فاکتورگیری عبارت است از تبدیل یک عبارت جبری به صورت حاصلضرب دو عبارت دیگر، یا به زبان ساده تر، تبدیل یک چند جمله ای به چند یک جمله ای ساده.
در واقع باید گفت که فاکتورگیری کاملا برعکس پخش کردن است. در فاکتورگیری معمولا به دنبال عامل مشترک هستیم. البته بزرگترین عامل مشترک بین چند جمله ای ها. بهتر است برای پیدا کردن جمله های داخل پرانتز هر جمله سمت چپ تساوی را به عامل فاکتور تقسیم کنیم.
تقسیم چند جمله ای ها
در تقسیم عبارت های جبری باید از فاکتورگیری و ساده کردن استفاده کنیم.
محاسبه مقادیر عددی در عبارت های جبری
وقتی در یک عبارت جبری از متغیرها استفاده می شود به این معنا است که اعداد مختلفی می توانند جایگزین این متغیرها شوند، به دلیل همین قابل تغییر بودن است که به آنها متغیر گفته می شود.
اتحادها
منظور از اتحادها، تساوی های جبری است که به ازای همه مقادیر ممکن و حقیقی درست هستند و سرعت محاسبات را بیشتر می کنند.
معادله
معادله در واقع یک تساوی جبری است که به ازای برخی از مقادیر عددی تساوی حاصل می شود. در حل کردن معادله در واقع شما مقادیر عددی که بر اساس آن معادله صحیح است را می یابید.
نکته: در حل معادلات می توانید به طرفین تساوی عددی را اضافه یا کم کنید در این صورت معادله درست است.
نکته ۲: می توانید دو طرف تساوی را در عددی ضرب کنید که در این حالت نیز تساوی صحیح است.
نکته ۳: امکان تقسیم طرفین تساوی بر یک عدد نیز وجود دارد.
از همه این نکات می توان در حل معادلات جبری استفاده کرد.
معادله درجه ۱
اگر در یک معادله حداکثر توان مجهول ۱ باشد به آن معادله، معادله درجه ۱ گفته می شود.
نکته: معادله درجه یک همیشه یک جواب دارد، یعنی یا یک عدد جواب است و یا جواب ندارد.
معادله درجه ۲
معادله ای که بزرگترین توان مجهول آن ۲ باشد معادله درجه ۲ نام دارد.
نکته: معادله درجه دو حداکثر دو جواب دارد. یعنی یا دو جواب دارد، یا یک جواب و یا جواب ندارد.
برخی حالات خاص در معادلات جبری
- اگر حاصل ضرب دو یا چند عبارت صفر شود آنگاه حداقل یکی از عبارات صفر است.
- هر عبارتی که به توان زوج برسد همواره منفی است.
- اگر جمع دو یا چند عبارت نامنفی صفر شود، آنگاه همه آن عبارات صفر هستند.
حل معادلات کسر
در حل معادلات کسری عبارت های جبری در صورتی که کسر مساوی صفر باشد یعنی صورت کسر صفر است.
در معادلات کسری بعد از یافتن جواب باید آن را در مخرج امتحان کنیم، پاسخ هایی قابل قبول است که مخرج را صفر نکند.
سخن پایانی
با توجه به مطالبی که در فصل ۴ ریاضی ۸ در مورد آن صحبت شد می توان گفت که این فصل یکی از مهمترین فصل های ریاضی در دوره متوسطه اول است، بعد از این سال تحصیلی در تمام کتاب های ریاضی با عبارت های جبری و حل معادلات سروکار خواهید داشت. پس بهتر است با حل تمرین های بسیار و مطالعه عمیق این بخش از کتاب ریاضی سال هشتم به خوبی در مبحث عبارت های جبری و معادلات آن به تسلط برسید. نمونه سوالات امتحانی این فصل در سال های گذشته و همچنین حل مثال ها و توجه به راه حل های ارائه شده در کنار یادگیری نکاتی که به آنها اشاره کردیم می تواند راهکار مفیدی برای یادگیری این فصل از کتاب ریاضی هشتم باشد.
